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H \R\ ARD UNIVERSITY.

L. I B R A H Y

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÔLOGY.

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MÉMOIRES COURONNÉS

AUTRES MÉMOIRES,

PUBLIES PAR

L ACADEMIE ROYALE

DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BELGIQUE.

COLLECTION l!¥-8\— -T«ME X*lî

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RUXELLES,

Avril 1872.

MÉMOIRES COURONNÉS

AUTRES MÉMOIRES.

MÉMOIRES COURONNÉS

ET

AUTRES MEMOIRES

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l'académie royale

DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS l>K BELGIQUE.

COLLECTION IW-8\— TtVI XXII

m

BRUXELLES.

HAVE/. IMPRIMEUR 1)1 LACADÉMIE ROYALI

iTril 1871

NOTE

SUR

LA PREMIÈRE MÉTHODE DE BRISSON

POUR L INTEGRATION

DES ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉRENCES FINIES OU INFINIMENT PETITES;

P. MANSION,

docteur en sciences physiques et mathématiques

(Mémoire présenté à la classe des sciences le 9 octobre 1869.)

Tome XXII,

)

NOTE

sur

LA PREMIERE MÉTHODE DE BUISSON

POUR L INTEGRATION

DES EQUATIONS LINEAIRES AUX DIFFERENCES FINIES OU INFINIMENT PETITES.

Cauchy a fait connaître, dans les anciens Exercices de mathé- matiques (*), deux méthodes remarquables d'intégration des équa- tions linéaires à coefficients constants, ducs au géomètre français lirisson. La première ; dont on peut retrouver le germe dans Laplace (**), a pour caractère essentiel de ramener I intégration de cette classe d'équations à celle d'un système d'équations linéaires du premier ordre, que Ton peut aborder successive- ment, comme si elles étaient indépendantes. Il résulte de que,

(*) Tome II, pages 159-209, Sur l'analogie des puissances et des diffé- rences. Le mémoire est consacré presque en entier aux équations linéaires. Yalson, dans sa bibliographie des œuvres de Cauchy, a omis de le citer parmi les mémoires qui se rapportent à ces équations. Les mémoires de liiisson n'ont pas été publiés, que nous sachions. Le cahier XIV du Journal de l'École polytechnique contient un mémoire de Brisson sur les équations linéaires, mais la méthode qui y est employée n'es! aucune de celles dont parle Cauchy.

(") Voir Lacroix, Cale. diff. et intégral, 2'™ édil , I. II, p. 609, t. III, p. 20S. Voir aussi une méthode analogue de Lngrange, Lacroix, l. III, p. 282.

{ 4)

dans chaque cas particulier, l'on est conduit par ce procédé à l'intégrale la plus générale de l'équation donnée; il n'est nul besoin d'une démonstration ultérieure pour prouver que les con- stantes qui entrent dans la solution sont réellement arbitraires. Le cas l'équation caractéristique de l'équation linéaire a des racines égales se traite d'ailleurs avec la même facilité que celui les racines sont inégales. L'exposition de cette première mé- thode de Brisson est rendue plus simple par l'emploi de quelques notations symboliques.

La seconde méthode, au contraire, beaucoup plus originale, repose essentiellement sur l'emploi de pareilles notations. Elle a reçu de grands développements en Angleterre, elle a été cultivée particulièrement par Boole, qui semble n'avoir pas eu connaissance des travaux de Brisson (*). Cette seconde méthode, dont la fécondité est égale, sinon supérieure, à celle de la pre- mière, a l'inconvénient de ne pas conduire nécessairement à l'intégrale la plus générale de l'équation proposée. C'est ce que reconnaissent Cauchy et Boole (**).

Dans cette Noie, nous appliquons la première méthode de Brisson aux équations linéaires les plus simples, dans les cas qui n'ont pas été examinés par Cauchy, c'est-à-dire quand le second membre est nul ou qu'il a une valeur particulière. Nous donnons en outre quelques applications de la même méthode aux équations linéaires à coefficients variables.

(*) A treatise on di/ferential équations, 2™eédit ,1865. Nous ne connaissons pas le supplément publié par Todhunter, ni le traité des différences de Boole qui contiennent probablement quelques chapitres sur les méthodes symbo- liques. Dans le traité ici indiqué, quatre-vingts pages in-8° sont consacrées à la seconde méthode de Brisson; à la page 591 , Boole dit qu'il est l'auteur de cette méthode, ce qui prouve qu'il ignorait l'existence des travaux très-anté- rieurs du géomètre français. Ceux-ci contiennent d'ailleurs quelques idées qu'on ne retrouve pas dans le géomètre anglais. Voir, par exemple, Cauchy} loc. cit., p. 162.

(*') Voir Cauchy, pp. 184-185: Enoncé du lliéo ème fondamental; Boole, préf., p. vu et p. 403.

( s )

§ I. Equations différentielles linéaires.

1 . Équations linéaires à coefficients constants. Représentons par X une expression de la forme :

eBr{</1a?'/-, -+- q%afl-* h- (]5œ(<-~° -*-...-+- qq) -+- Sebx(r0xr -+- i\x'-1 -+- ... -i- rr)

uj b, qu q.,, ... qq, r0, r,, ... r,. étant des constantes, le signe S désignant une somme de termes analogues à celui devant lequel il se trouve et q et r des nombres entiers positifs. L'équation linéaire :

dy

aij = X ou Dy ay = X

que nous pouvons écrire symboliquement :

[ a]?/ = X ou (D a)y = \

\dx )

aura pour intégrale :

y = Ce0* + e^îQ^fl -*- Q.2x'i-1 -+- ... -+- Q7) ■+- Se'" (Pvrr -f- R,*'-» -+- ... -+• Rr)

les constantes étant déterminées par les relations :

qQl = Qn (v-— i>Q« = 7.; « Q<r=<to

Ra('> - a) r9', j-R0 -+- Rx(6 a) = rt; ... Rr_j -+- Rr(6 - <*) = »

et C étant arbitraire. Si les constantes <y, ... r/y , >•„ ... rr sont com- plètement arbitraires, de manière à n'avoir entre elles aucune relation, les constantes Q,...QJ, R„ ... Rf sont aussi complète- ment arbitraires.

Soit maintenant l'équation linéaire:

d«y d»-i/y dy

--*-A -+- ....-i- 1 +Ui/ = X

<lx'1 d.r" dx

ou

D"// -f- AD"-1// -H .... -t- TD/y -h U// = X

( « )

A T, U, désignant des constantes et X une fonction quel-

conque de x. Supposons que Ton ait:

/a = ft» + Aa"-' 4- ... +T«+ U = - «^ (a - at)....{a— a„_0(a a»)

l'équation différentielle pourra s'écrire symboliquement :

(D at)(D -aj (D a.) . .. (D - a„-i) (D - a„)y = X. (1)

Sous cette l'orme, on voit qu'elle peut se ramener au système suivant :

(D^-all)y=yl; (D- a„-i)yi=yi ...(D— 0s)yB-2=î/n-i; (D— «,^«-i = X. r2)

On peut intégrer successivement ces équations qui sont linéai- res et du premier ordre. Si X = 0, et que les quantités a, a?. ,au soient inégales, on trouve:

//„_i = C,,*»»* ; //„ _2== Cî2e«ia -i- C22««*1 ; /y„_3 = C13e"i* h- C23ea** -+- C--e""x\

yi Ci, n-i#1*-*- Ci, „_ i e«^-+- -t- C-lw'-j e«i«-ix;

/y = CiCi* -t- Cae"^ -4- C3e"3x -+- -+- C„e"«r.

Dans chaque équation, les constantes sont complètement arbi- traires, et elles dépendent, comme on l'a vu plus liant, des constantes de l'équation précédente.

Si plusieurs des quantités «, a2 ... étaient égales, l'équation don- née pourrait s'écrire:

(D - a,)*i (D a2)** .... (D - (in)''»y = 0 ou P(D «)*# = 0

P désignant le produit de facteurs symboliques, analogues à (D-a)*, /.' le degré de multiplicité de la racine a dans l'équation caractéristique de l'équation linéaire. En tenant compte de ce qui précède, sur les équations du premier ordre, on trouve :

y = Sc",J(C1.^-1 -+- C2a7*-2 -+-...-*- Ck-ix -+- CA)

S étant le signe somma toi re ordinaire. Supposons que X soit égal à

Se"J((]vT''-i -+- r/2r'/-2 -i- .... -+- r/y) -h Sc**(r04r -4- >Y£'~' 4- .... -h >',),

«désignant une racine de l'équation caractéristique dont le degré

( 7 )

de multiplicité est />, et b une quantité qui n'csl égale à aucune des racines de cette équation. Il suflit évidemment d'ajouter à l'intégrale générale trouvée plus haut les deux termes :

S&uiQlœP+1i-1 -+■ Q.2j:>'+'/-2-4- ... -f- Q(iaF)-t-Sete(K0a;r4-R1a?,_1 -+-...H-R,.).

les nouvelles constantes étant convenablement déterminées au

moyen de relations qui les font dépendre des constantes qt qfj,

r0 rr, comme il a été dit à propos de l'équation du premier

ordre.

11 est facile de voir que, dans le cas actuel, de 1 équation

P(D - a)ky = X, on peut déduire

P(D a)'i . P(D - by+l. P(D - a)ky = 0 ; ou

P(D - 6)H-i (D- a)k+''y = 0.

C'est au moyen de cette dernière que M. Michaëlis intègre l'équation avec second membre (*).

Dans le cas x est une fonction quelconque, on trouve;

y Sea"(CLxk-1 -H C2.r*-2 h- .... -h C*) -f- X, Xt= e"Hx /e(«H -ï-ttfrdx feiun~-i-an-iî*dx / f e^a\-a^'dx f e~u^\dx

expression déjà donnée par Cauchy et décomposée par lui en une somme d'intégrales simples (**).

La méthode de Brisson fournit les intégrales particulières avec la même facilité que l'intégrale générale. Si Ton donne, par exemple, les valeurs ?/0, y'Q ... */o"-,) de y et de ses dérivées pour x x0, on connaîtra immédiatement les valeurs des variables

(') Mémoires de la Société des sciences naturelles du Luxembourg., t. Vil I. Dans les traités de calcul intégral, on trouve directement cette inté- grale générale par la méthode des coefficients indéterminés, mais on laisse ordinairement de côté le cas q n'est pas nul.

(**) Cauchy, Exercices, t. Il, p. 175. Il traite, en outre, complètement quelques exemples d'équations du second ordre avec second membre quel- conque. La question générale est exposée par la seconde méthode de Brisson , pp. 186-189.

( 8 )

auxiliaires y{ y2 ... y»-i pour cette valeur de x, et, par suite, on pourra trouver les intégrales particulières du système (2), qui conduiront à la solution particulière cherchée de l'équation (I).

2. Solutions communes à plusieurs équations linéaires à coef- ficients constants (*). La comparaison des intégrales générales de plusieurs équations linéaires permet de trouver facilement la solu- tion la plus générale commune à ces diverses équations. Mais on peut parvenir au même résultat, sans supposer connue lin- tégrale générale , en se servant des analogies qui existent entre les équations linéaires et les équations algébriques.

Soient, d'abord, deux équations du premier ordre sans second membre :

dy n dy

mi = 0 au = 0.

dx J dx J

Toute solution commune à ces deux équations sera telle (pic (a a') y = o; par conséquent, y = o est la seule solution commune.

Soient, en second lieu, les équations :

(D - at) (D - a%) (D - an)y = 0 , (D b)y = 0.

Si b est égal à Tune des quantités a{ at ... aB, la solution géné- rale de la seconde équation est commune à toutes les deux; mais, s'il n'en est pas ainsi, elles n'auront d'autre solution commune que y = o; car si l'on tire de la seconde équation la valeur de Dy, et qu'on la substitue dans la première, il vient :

(b - a%) (b a2) .. (b - aa-i) {b - an)y = 0.

Soient enfin les équations :

(*) M. Brassinne (Sturm, Cours d'analyse, 2,,,e édit., I. 11, p. 355) s'est occupé de la recherche des solutions communes à deux équations linéaires sans second membre et à coefficients quelconques. Il se sert aussi d'un pro- cédé analogue à celui que Ton emploie dans la théorie du plus grand com- mun diviseur; mais, à cela près, la marche suivie par nous n'est pas celle qu'a indiquée M. Brassinne.

m

(D -bjib-i,) ...\h-bi) (D at) (D-cr2)..(b--aA)// = 0 (D - Cl) (D - câ) ... (D - cm) (D - ot) (D - a2) ... (D - ak)y = 0

</, a., ... ak désignant les racines communes aux équations carac- téristiques.

Il est clair que la solution la plus générale de

u = (D ot) (D a2) . . (D ak) y 0

est une solution commune aux deux équations données. Je dis qu'elles n'en ont pas d'autre. Pour le prouver, mettons ces équa- tions sous la forme :

(D 6J(D— 6S)... (D bi)u = Q (1)

(D - Ci) (D - c2) ... (D - cm)u = 0. (2)

Toute solution commune aux équations (1) et (2) satisfera aussi à l'équation d'ordre / (/ étant supposé plus grand que m) :

(D - c,) (D c2) ... (D cm) (D - &,„+,) .... (D - bi) u = 0 (3)

et par suite à l'équation d'ordre l 1 au plus, obtenue en sous- trayant 1 équation (5) de l'équation (1), savoir :

(D - ex) (D - e9) ... (D - ep) (D - 6m+i) .... (D bt) u = 0. (4)

Les quantités e{ et ... ep seront différentes de c, c2 ...; comme le sont déjà bm+l ...bt. Des équations (2) et (4) on déduira une équation analogue à (4) et d'ordre / 2 au plus; de celle-ci et de (2) une nouvelle équation analogue d'ordre / 5 et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une équation d'ordre inférieur à celui de 1 équation (2) et les racines de l'équation caracté- ristique seront toujours différentes de ct c2 ••• cm. Cette équation formera avec (2) un système cette dernière équation pourra être remplacée par une équation d'ordre inférieur à celui de l'autre Bref, on arrivera à deux équations, l'une, du premier ordre, l'autre, d'ordre quelconque :

(D-/>)M = 0, (D-^)(D-f72) (D <7„)w = 0

n'ayant aucun facteur symbolique commun. La seule solution commune est donc u o.

( io )

Le cas l'on doit chercher les solutions communes à plusieurs équations peut être ramené au cas précédent. Enfin, si les équa- tions linéaires considérées avaient la forme :

P(I> - a)kn = Se'u[qvv'i-1 -+- etc.) -4- Sefa(r1a?r -4- etc.)

on les ramènerai! à

P(D -a)*+/»(u 6)H-»=:0,

on chercherait les solutions communes aux équations nouvelles; et, en donnant des valeurs convenables à certaines constantes, on trouverait les solutions communes aux équations données.

/>. Équations linéaires à coefficients variables. Considérons une équation du quatrième ordre :

(A0D* -4- A,b -4- AfD» -4- A5D -4- At)y = 0 (1 )

et proposons-nous de la mettre sous la forme symbolique :

(B0D3 -4- 15, l>- + B,D + ig (t)// - ty) = 0. (2)

Les quantités B0, ... B3, l devront, pour cela, satisfaire aux

relations :

dl B0 = A0, B1 = A,-+-B0/, Ba = AJ-hB1<-t-3B0-r

(Il ll'l

B5 = A3 -4- B2/ -4- 2B, h 5B0 -

(B0D3 -4- I^D2 -4- B,D -4- B„ï «+A4 = 0. (3)

La dernière équation nous donne le moyen de prouver que l'on a t = Dyt ://,, y, étant une solution de l'équation (1). Faisons, en effet, dans celle-ci, y=Z -f- 1, elle deviendra:

(A0D< -4- A.l)"' -4- A2U- -\- A50 -4- A4) ; + A1 = 0

(B0D3 -4- lî.O- 4- BaU 4- IV ',h~ - !~) "+- = °

Posons :

1); -/; = ;,; (I)

d'où résulte :

(B0D3 -4- BjD» -4- B3D -4- B5) r., -4- A4 = 0. (5)

(Ml

( Il )

A cause de lit ressemblance de forme cuire les équations (3) et (5), toute solution de l'équation (3) est aussi une solution de l'équation (5). Soit t=tt, z, = f, nue semblable solution com- mune; d'après l'équation (4), on aura:

Da- ■/,s = /l ou D(z-f- 1)— /, (z-+- l) = 0 ou encore :

égalité qui démontre le théorème énoncé pins haut. Revenons maintenant à l'équation (1) ou (2), et soit

y = c1M1 -4- C'^Wg -+■ Cstt8 4- CiUt

son intégrale la plus générale. Posons :

Dy ty w. (6)

L'équation (2) deviendra

(B0D3 -h UtD2 h- BSD h- B8) UJ = 0. (7)

Nous venons de voir que l'on peut prendre £ /,, /, étant déterminé par la relation :

»</, - (1yl = 0

l'on peut supposer, par exemple y{ h{ (*).

La relation (6) donne la valeur la plus générale de w corres- pondant à cette valeur /, de l :

W=.\) (c1Ul -+- C 2U.2 -4- CZ1I- -4- C4M4) /, {C1Ut -H r2?/8 -H C3?/3 -H C4M4)

(pie nous écrivons :

IV = CSW3 -4- C-IC- -4- C4W>4

en posant :

u>2 = (D /t)w2, fc5 = (D ft)t/„ m?s(D /t)w4.

On peut ramener l'équation (7) à une équation du deuxième ordre, et celle-ci à une du premier, en raisonnant comme on l'a

(*) L'intégrale la plus générale de (5) contenant irois constantes arbitraires ne peut être que D [ctut-i-...-t-ctvJ '■ [cïul -+- ...-4- c4"4).

( )

fait pour passer de (1) à (7); on saura, d'ailleurs, trouver l'inté- grale la plus générale de chacune de ces équations au moyen de celle de la précédente, comme nous avons trouvé w au moyen de y. Nous pouvons résumer ces réductions successives en même temps que les calculs précédents dans le tableau suivant : L'équation

A0D* -+- AtD3 -+- A2D* -h A.D -+- A_4)y = 0

devient successivement :

(B0D"J -+- BtDa -t- B2'> -+- B.) w = 0

(C0D--+-C1D -+-C2ïo = 0

(E0D h-E^ô^O

For=0 D'ailleurs :

An = Ko = Co = Eo = Fo

mj=(D tjy, v={])-(^iv, s—(U t-)v, r = (D /4)«;

w2 = (D-t1)uii 0=(D t^uy,

f0s==(D *,)«,, t>8 = (D /2)«?3, 0=(D gva;

M?4 = (D ^)w4, e4==(D-*2)u>4, s4 = (D ^v4, 0 = (D-f4)s4r).

L'équation donnée peut donc se mettre sous la forme :

A„(D-/4) (D-/.Ï (D-/2) (D-tl)y = Q. (8)

Ce (pie nous venons de dire à propos des équations du 4mc ordre est vrai pour les équations linéaires d'ordre quelconque. Par conséquent, si l'on connaît la solution la plus générale

ClUl -+- ty/j -+" ... ■+- C„Un

d'une équation du nième ordre, linéaire et sans second membre, on pourra décomposer le premier en facteurs symboliques du premier ordre. On voit encore que si l'on ne connaît que m solu-

(*) Inversement, on déduit de ces relations que ctw, -h etc., est une solution de l'équation (8), niais on ne peut |>as conclure de que ctut -+- ele. en soit r intégra le la plus générale.

( 13 )

lions particulières de l'équation , on pourra trouver m des n fac- teurs symboliques du premier ordre dont le produit est égal au premier membre.

On conclut de les beaux théorèmes de Lagrangc et de d'Alcm- bert sur les équations linéaires avec second membre : si l'on connaît la solution d'une équation linéaire sans second membre, on peut en déduire, par de simples quadratures, la solution de l'équation correspondante avec second membre; si l'on connaît m solutions particulières d'une équation linéaire sans second mem- bre, l'ordre de l'équation correspondante avec second membre pourra être diminué de m unités; il en sera de même si l'on con- naît une équation d'ordre m ayant m solutions particulières com- munes avec l'équation d'ordre n sans second membre. En effet , si l'équation d'ordre n est

N = (AnD" -t- A^"-' -f- ... -+- A») y = 0,

et celle d'ordre m

M = (BnDm -h l^D'»-1 -h ... -h Bw) y = 0 ,

comme on peut décomposer le premier membre de ces équations en m et n facteurs symboliques, dont m seront communs aux deux équations, il en résulte que l'on peut poser :

N = (C0D'»-«* + CjD»-™-1 -*-...-+- C„_m) M

et l'on saura déterminer C0 C,...C„_,H sans effectuer d'intégration. La métbode qui vient d'être exposée peut, dans des cas res- treints, conduire à l'intégration des équations linéaires à coeffi- cients variables. Si l'on a, pour ne parler que de l'équation du quatrième ordre, A0 = a0(px -h </)4, Ai = al(px -h q)z , etc., on trouve aisément que l'équation (4) en t peut être vérifiée par t = m[px -+- q)~l, m étant convenablement déterminé, et l'on reconnaît que 1 équation (7), à laquelle on est ramené, est encore de même forme que l'équation primitive ; de sorte que l'on est sûr que tous les coefficients tt .. ont la forme t = m(px -+- </)_1. On est conduit de cette manière à l'intégrale connue de l'équation linéaire en question.

( 14 )

4. Une faible modification de la méthode de Brisson , appliquée aux équations à coefficients variables, conduit à une méthode ana- logue à celle de Laplacc pour l'intégration des équations aux déri- vées partielles (*). Soit, par exemple, l'équation suivante, considérée par M. Spitzcrf*),

X t- l

dxn

d»-'y I dy \

sa v 1 œ h jUy

dœn~{ \ flx j

On reconnaît, sans peine que l'on peut écrire cette équation sous la forme :

n«-i (j-o -f- > - n -+- 1) y - o (x\) -t- ,u) y = 0.

Dans le cas X n -¥• I = p, on a donc :

(D"-1 v) (a?D -+- m) y ~ 0 ,

ce qui conduit à l'intégrale générale sous forme finie. Mais si Ton n'a pas x h t- 1 = a, on pose /.• = > n . -*- 1 et

#D*/ -f- A-// = w ; (8)

alors, au lieu de I équation donnée, il vient

t)"- ' ii = vu v (k iu) y. (9)

Si l'on élimine y et Dy entre ces deux équations et la dérivée de

la seconde, on trouve :

/ du rï)"tt -+- AI)"-1 m = v \x h M

ou

/ du

\ r/.r

(*) Voir Lacroix, l. Il , p. 009, nn 767. (**) Archives de Grunert, t. 46, p. 2o. (Voir Nouvelles Annales de mathéma- tiques, 1867, p. 190). Spitzer donne une solution au moyen des intégrales définies contenant n 1 constantes arbitraires, dans le cas X, u-,v sont des constantes quelconques. Il en déduit, dans le cas ,u et ^^ sont des nombres entiers, l'intégrale générale sous l'orme finie; ensuite, par une autre méthode, il trouve l'intégrale générale au moyen des intégrales définies quand M et / ~~ so;it positifs, mais non entiers En remarquant, comme

( I»)

équation de même forme que la proposée, A est remplacé par / (n 1). Des équations (8) et (9), il résulte que la connais- sance de y entraîne celle de u et réciproquement. On pourra donc ramener la proposée à une autre, A est remplacé par X zfc m(n 1), m étant un entier positif. Par conséquent, si / zb

m (n i) = fjc, ou si

A ix

n 1

est entier, positif ou négatif, on saura toujours intégrer sous forme Unie.

Pour terminer ce qui concerne les équations différentielles linéaires, nous ferons remarquer que les méthodes de transfor- mations données par Jïoole dans son Traité, afin de les ramener à des formes telles qu'on puisse y appliquer la seconde méthode de Brisson, peuvent aussi en général faciliter l'application de la première (*).

§ II. Équations linéaires aux différences finifs.

5. Équations linéaires à coefficients constants. Nous sup- poserons, dans ce qui suit, que la variable indépendante x ail pour différence constante l'unité.

L'équation :

JV/-H1 - «)// = 0 a pour intégrale :

y Cax

a étant une constante donnée, C une constante arbitraire dans le sens attaché à ce mot dans le calcul des différences.

nous le faisons plus bas, que non-seulement la valeur de y peut se tirer par dérivation fie celle de u, niais aussi que celle de m peut se déduire de celle de y, il aurait pu conclure que l'équation est intégralité au moyen des inté- grales définies, quand ix est positif, et ^-^-. Quelconque. \*) Nous signalerons particulièrement la belle formule:

d"u d I d \ [ d \ ld \

'»> (a -'H*-1) ■■■(*" "H"

si x = c'. et maintes conséquences qu'on en déduit. Treatisc, p. -412.

( *6 ) Soit, on second lieu, l'équation avec second membre :

A y -+- (1 a)y = q0x" -f- qvxn~l -h .. -4- qn-{x -+- qn

q0 q{ . ... étant des constantes. On posera :

y = z ■+■ Q0#" H- Qvxn~l -+- . + Q„_i a; + Q„;

et si Ton détermine convenablement Q, Q, .. Q„, l'équation donnée se réduit à

de sorte que l'intégrale la plus générale de l'équation en y est : y = Cax -+- QQœn -+- .... h- Q„. Soit encore l'équation :

A// -+- (1 a)y b* (qnxn -+- qxxn~{ -4- .. M- q»)

h étant différent de a. En posant y =b*z, on la ramène à la forme de l'équation précédente et on est aussi conduit à l'intégrale

y = Cax -+- bx~i {Q0xn -+-.... -+- QH).

Enfin , si l'on pose ?y = axz, dans l'équation :

A,y -+- (1 a)/y = a* (r0arB -+- rta^~l -h ... -h r„) ,

elle devient :

Ar. = a~[{r0xn -+- rtaP-* -4- .... -+- rH). On tire de :

z R0o-»+l ■+- R,a?M -4- ... -4- R*o; -4- R«+.i

R0... Rn étant des constantes convenablement déterminées et K„+i une constante arbitraire.

Si q0...qn sont complètement arbitraires, ainsi que r0 ... rn, il en sera de même de Q0 ... Q„, R0 R«-

Une équation linéaire aux différences d'ordre quelconque à coefficients constants pourra s'écrire sous la forme :

[A+O-fl.f, [a -*- (1 oj\k* .... , [a-Kl an)]k»y = X

ou même :

( 17 )

X étant une fonction de se et a{ cu2 ... an étant des constantes. On peut remplacer cette équation par un. système d'équations du premier ordre. Dans le cas X = 0, on trouve, en s'appuyant sur ce qui précède,

y = Sa* (C^-1 -+- C2xk~î + . .. -+• C*_4a? + Ck)

S étant le signe sommatoire ordinaire et C, ... Ck des constantes arbitraires (*).

On intègre avec la même facilité les équations le second membre, au lieu d'être nul, a une forme analogue à l'intégrale générale trouvée plus haut.

Les équations aux différences mêlées, de la fornlc

P(D-a)*[A+(l ft)]«y = 0,

se ramènent à la dernière classe d'équations. Posons en effet :

P[A-*-(1- b)]ly = w on aura :

P(D o)*ie = 0

et par suite, en faisant. ea=c :

w = Scx(Ctxk-1 -+- C5.^-2 h- .... -4- Ck)

L'équation en y devient donc :

P[a -*- (1 b)]ly = Sc^C,^-1 -4- .... ■+- C*)

que l'on saura intégrer. On remarquera que les constantes intro- duites par l'intégration de l'équation différentielle sont de nature différente de celles qu'introduit l'équation aux différences; celles-ci sont des fonctions de x, qui ne varient pas quand x croît de

O Cauchy {Exercices, l. Il , pp. 175-180) traite complètement le cas des

équations du second ordre avec coefficients variables et celle du n,ème ordre de

la forme :

( A r)« y = fx

On peut en déduire une partie des résultats précédents en faisant fx = o. 1) étudie cette dernière équation et l'équation (1), par la seconde méthode de Brisson,pp. 189 et 195-197.

Tome XXII. 2

(18 )

l'unité. Cest pourquoi Ton ne peut pas arriver à l'intégrale de l'équation donnée en posant

P(D afy = io

P[A-4-(1 —b)]lw = 0.

La première intégration pourrait eneorc s'effectuer, mais la seconde ne pourrait plus être qu'indiquée.

Enfin les équations aux différences mêlées, que nous considé- rons ici, peuvent encore évidemment être intégrées si Je second membre est de la forme

<y0....(/(/ et g étant des constantes.

On peut étendre aux équations aux différences finies, à coef- ficients constants, tout ce que nous avons dit sur les solutions communes aux équations différentielles linéaires à coefficients constants. Il suffît de changer la caractéristique D en a dans le 2. On ne peut, au contraire, étendre qu'une partie de ces con- clusions aux équations analogues aux différences mêlées.

G. Equations linéaires à coefficients variables. Considérons l'équation linéaire à coefficients variables du quatrième ordre :

A0Aty 4- AjAfy 4- A2A2»/ + A3Ay 4- A4î/= 0,

ou encore, en posant y—z •+- \

A0A*3 4- AtA5s 4- A2 A2S 4- A3Az 4- A45 4- A4 = 0.

Soit :

(A0A* 4- At A3 4- .. Ai)z = (B0A3 4- BtA2 4- B2A 4- B3) (Aa tz) et

f —t -f- M

t"'=t"-h M" Pour que l'égalité précédente subsiste, on doit avoir :

B0 = A0; B1 = B/"h-A1; Ba ==,5B0A*"4- B/'4- A2; B- = 5B0A-/' 4- 2B, Af'4- B/4- A5; (B0A8 -t- B, A2 4- B2A 4- B3Ï / 4- A4 = 0.

( 19 )

Si l'on fait :

±z tz = w, on a :

(B0A3 -4- BtAa + B2A -4- Kz) W -+- A4 = 0.

Toute solution de l'équation en t est une solution de l'équation en w ; par conséquent, comme dans le cas des équations différen- tielles linéaires, l'équation en t est précisément celle que l'on obtiendrait en faisant t=&y:y dans l'équation donnée.

Soit y = clvi -t- c2w2 -♦- ^3^3 h- c^i, la solution la plus générale de l'équation en y; on démontrera, comme plus haut, que l'équa- tion donnée peut se mettre sous la forme :

A0(A-/4) (A-/s) (A ~fu) (&-tx)y = ()

pourvu que

0 =(A ttjui;

W72 = (A ft)M2, 0=(A ft)îoa;

u\. = (A-/,)i/5, r3 = (A-/2)H'5, 0=(A /3)rs;

M74 = (A *t)W4* e4 = (A— gto4, *4 = l> y 17», 0 = (A (t)s,.

On tire de ce théorème des conclusions analogues à celles qui ont été énoncées dans le cas des équations différentielles (*).

7. Autre méthode d'exposition des résultats précédents. Posons :

y'= y H- Mj, yr= y'+- *iy' ... , yi») = y(»-*) -h A?/"-1'.

Alors, au lieu de l'équation :

[A 4- (1 - a,)] [A -4-(1 - aS\ [A + (1 - on)]y = X ,

on pourra écrire le système :

y'— any = yt ; y\ an-iyt = .... y'»-\ a^jn-i = X

(*) Inversement des dernières équations, on peut déduire que

c ,«! -+• c2u i -h ctu- -+- c4m4 satisfait à l'équation

A0(A-<4) (A-*3) (A-1i) (A-ll)j/=0.

( 20 )

ee qui prouve que l'équation donnée peut se mettre sous la forme :

t/<") -+- M^--'1 + M. --+-...+ M,.// = X

pourvu que :

a" -+- Mifl"-1 -+- ... -+- Un = [a a^ {a - ax) ... [a = a„).

On pourra de même remplacer l'équation du quatrième ordre considérée dans le numéro précédent par le système :

y'_(/iH_l\,/ =!/i ou >/ rly=yl, si ï\ == it + 1 :

.'/', (^ h- 1 ) y, = !fa ou ;/', ray, = y, , si ra = f,-*- 1 ;

& (!»-*- I)y2=& ou «/; r=t/a =».•-, si r3 = /34-i:

£ (<4-*-*)y5=0 ou £ r4y5=0J si >-4 = t4-+-l.

Les équations qui donnent fn f;. fs, f4 deviennent :

0 = ?i'i rttt,;

10, = »j rt«j , 0 = Wj /yes :

u,3= u. r^/3, r- = 10* >Y-*V 0 = r3 'W

wA = u\ rtu4, i\=w\ >yr4, = i\ r3r4, 0 = s, r#*.

Si l'on convenait d'écrire

(' r)y au lieu de 7' ry

l'équation donnée deviendrait

('— rê) C-r,) ('- ra) ('— i\)y = U.

On peut établir directement ce dernier point, de la manière

suivante. Posons :

tf-ry=W

W'" + NtW"-f- NSW + NSW = 0

ou . si l'on veut, au moyen de notations symboliques :

l'équation donnée étant mise sous la forme

( 21 )

Nous trouverons, pour déterminer les valeurs de N,N2N3, r y les relations

N, = M, -+- r'" ; Na = M2 + r"N,; N, = M3 + KN, : 0 = M , + rNs. On en déduit

r'"r"r'r -\- Ufr'r -4- Bf8rV h- >J3/- + M, = 0. Si l'on fait :

z' = rz, d'où z" = rV, z'" = r"z", z" = r'"z'", l'équation en r se transformera en la suivante en z : a" -4- Mt*'" -+- Ma«" -+- M5s' -+- M,z = 0.

Celle-ci ayant identiquement la même forme que l'équation en y, on voit que z=y, et par conséquent

'i' r = , ou \i ry = 0.

Cette première relation entraine évidemment toutes les autres sur r, , ra, r3, et r4. Exposée sous celte forme, la méthode de Brisson est identique avec celle de Laplace (*). Seulement ce géo- mètre ne semble pas avoir songé à transformer 1 équation en /• en une autre en z, identique à l'équation donnée.

§ III. Equations aux dérivées partielles.

8. Equations à coefficients constants (es plus simples.

L'équation

dz dz

a = 0 ou (D, - aV,,) z = 0

dx dy

a pour intégrale générale z=ft (y-t-ax), p, désignant une fonc- tion arbitraire.

O Voir Lacroix, t. III, p. 208, 1046. L'équation en r et par suite l'équation donnée en y peuvent s'intégrer dans un cas étendu (voir 1047). Quand on compare cette méthode de Laplace à celle que Lagrange emploie pour étudier les propriétés des équations aux différences partielles, on recon- naît qu'elles ne diffèrent pas essentiellement.

( 22 )

L'équation :

(D* aDy) z = ft {t/ -+- flff)

donne une équation en z" identique à la précédente, si ion pose z = £'f, (y -+- ax) et z' = 3c+^". On a donc, en désignant par ^2 (y ■+- rtjr) une fonction arbitraire de ?/ ■+- ax,

s = # ?i (^/ -+- ax) -4- f t (^ -*- «#) ?a (y -+" «#) » ou d'une manière abrégée :

En généra] , si ,

n 1!. n 2!. 1

l'équation

(Da - aDv) z = F„

a pour intégrale z=Fn+l, Fn+, étant une expression formée d'après la même loi que F„ et entre une nouvelle fonction aM+, arbitraire. Dans le cas ç^2 ....?„ sont des fonctions com- plètement arbitraires de y+ax, n'ayant, par conséquent, au- cune relation entre elle-, on peut mettre F„ sous la forme :

V"

ri-- "raj"'*^»-!» 'ht étant des fonctions complètement arbitraires de y -+- «x.

Considérons maintenant l'équation :

dz dz

En intégrant cette équation parla méthode ordinaire, on est con- duit à l'intégrale :

z == 7C {y ■+- 6a?) -+- a;"-1 £, (*/ -+- aa?) -f- #"-2 %2 (// + ax) ■+■ ••• ■+■ (^ + rta;)

7r désignant une fonction arbitraire, et %,%.>....%„ étant des fonc- tions qui se déduisent de àïh—'h [)iXV des relations connues, et arbitraires d'ailleurs quand ces dernières le sonf.

( 23 )

On trouve encore aisément l'intégrale dans le cas le second membre est une fonction entière de x et y.

Les équations à coefficients constants linéaires, et homogènes par rapport aux signes de dérivation, pourront se mettre sous la

forme :

(Dx - atUy)ki (Dx - a^y)ki (D, - ajftfà a = U

ou

P (D, aVy)k z = \]

U étant une fonction de x et de ;/, et «.«2 «» des constantes. En intégrant par le procédé indiqué dans le cas précédent, on trouve, quand U = o

Z = S [aj*-f (y -+- ax) h- xk~* ï2 {y -+- ax) -4- + h {y 4- ax)]

*Pn hi'—h désignant des fonctions arbitraires, k le degré de multiplicité du facteur symbolique correspondant à la quantité a.

On intègre, avec la même facilité, les équations ie second membre a une forme analogue à l'intégrale générale que nous venons de trouver (*).

9. La recherche des solutions communes à plusieurs équations linéaires peut se faire absolument comme dans le cas des équa- tions différentielles; mais on n'arrive plus, comme pour celles-ci, à un théorème général donnant toutes les solutions communes. Nous allons indiquer la cause de cette différence.

Soient, d'abord, les deux équations :

(Dx. - atoy) 2 = 0, (D.* - a'Dy) z = Q. On en déduit, pour la solution commune :

Dxz 0 , UyZ = 0 , z = une constante.

(") Cauchy ne traite par la première méthode de Brîsson que les deux équa- tions :

d2- d-z diz d-z d-z

= ax -+- bu et -— - 2 -+- -— = e™+h (pp. 181-185).

dx- dy- J rfxa dxdij dy-

Il décompose en facteurs symboliques une autre équation (p. 192). Mais il s'occupe de cas plus généraux par la seconde méthode de Drisson et par une autre qui lui est propre (pp. 189 et 197).

( 24) Soient, en second lieu : (Dx-^Dy) {Dx-asPy)....(tox-anDy)z = 0, (D.e bï)y) 5 = 0. La solution commune z devra satisfaire aux équations :

d:*=o, Dx~,dj/5=o, d,d;"i*=o, d;i2=o.

La fonction, la plus générale qui satisfasse à ces dernières équa- tions est un polynôme de degré n 4 en x et y à coefficients arbi- traires. Un semblable polynôme satisfait à la première équation donnée en z, mais pour satisfaire à la seconde, il doit être de la forme :

Z = C + Cl(t/+ bx) -h C2 (y -+- bx? -f- -4- Cn-i {y 4- te)"-1

C, C,... Cn_,j étant des constantes arbitraires.

Soient, enfin, deux équations d'ordre quelconque :

(Dx - bfly) (D, - 62Dj,) (Dx. - feiDj,) (Dx - o^y) (D, - akVy) z = 0,

(Dx qD,,) (Dx -c2Dy)... .(Dx cmDj,) (Dx rttDy) (D* a*Ds)* = 0.

On posera :

(Dx - atDf ) (Dx u2\)y) (D, - a*D„) z = «

les équations données deviendront :

(Dx 6,Dy) (Dx 6iDs,)w = 0

(Dx - ctD,) (Dx - cmDy) z* = 0.

Si m est égal ou inférieur à l, ces équations ont pour solution commune l'intégrale de l'équation :

(Dx - otD,) (Dx - a2by) (Dx - akby) u = V

V étant an polynôme quelconque de degré m 1 en x et y.

Mais nous savons, parle cas particulier examiné plus baut, qu'il peut y avoir d'autres solutions communes. En opérant comme dans le cas des équations linéaires différentielles, on trouve deux équa- tions auxiliaires, dont l'une du premier ordre, qui ont parmi leurs solutions communes toutes celles des équations données. Mais la réciproque ne sera pas vraie: on devra donc, après avoir trouvé les

( S»)

solutions communes aux équations auxiliaires, déterminer les fonctions et les constantes arbitraires qui y entrent, de manière que ces solutions satisfassent aux équations données.

On ramène au cas précédent celui l'on a plus de deux équations à considérer, et celui les équations ont un second membre de même forme que l'intégrale des équations sans second membre.

10. Quelques remarques sur les autres équations aux dérivées partielles. La méthode de Brisson peut s'appliquer à d'autres équations aux dérivées partielles. Aussi, par exemple, les équations

suivantes :

dH dH d2z

« -7T+ -X(J -r~r + y Tl °

dx2 dxdij dy2

d2z d2z 4 dy

dx2 dy2 x-\-y dx

d*z d2z d2z dz dz

% - -f- Vxu h y2 1- x h y n2z = 0

dx2 J dxdy J dy2 dx J dy

d5z d*z %dH (Fz 2 (d*z d*z\ _

dx"' dx'-dy dxdy2 dif x-\-y \dx2 dy2)

se mettent, après quelques tâtonnements, sous la forme :

(a?Dx. -4- yDy 1) (^D* -t- yby)z = 0

(D'+D'+^) (D<-D>

4 U = o

x -t- y, (x\)£ -f- yBy -f- n) {xhx -+- yDu n)z = 0

D,-Dy —)

x + 'jI

(Dx.-Dy) (D,-4-I)tf)2 = 0.

En remplaçant ces équations par des systèmes d'équations du premier ordre, on trouve leurs intégrales les plus générales :

\x

y x

._ 2x 1 y-* z c x+y ?{x -h y) -\ ev+x à {y x)

x-hy

a

z = f {x - y) + <// {x -t- y) -t- e£-y %{x -t- jy) . f, ■!>, % désignant des fonctions arbitraires.

(26 )

On peut aussi parfois trouver des solutions particulières par des artifices se rattachant à cette méthode. Ainsi la troisième équa- tion donnée plus haut peut s'écrire :

{xD£ -+- yBy) {xDx -+- i/Dy)j5 = n2z. Si Ton pose :

(xl)x -+• yDy) z = zb mv on aura :

(xVx ■+- yVy) 10 = ± riz.

La forme de ces équations prouve que l'on peut y satisfaire en faisants—^, et cette hypothèse étant introduite dans l'une d'elles, on trouve :

*.f(j)

ce qui, dans le cas actuel, équivaut à la connaissance de l'intégrale générale (*).

\ 1 . Laplace et Legendre se sont déjà occupés de la composition du premier membre d'une équation du second ordre en deux fac- teurs symboliques du premier ordre; mais en donnant à l'équa- tion une forme particulière et surtout en faisant le coefficient du premier terme de l'équation égal à l'unité, ils ont rendu parfois

O Les quatre équations données ci-dessus sont empruntées à Lacroix, t. II, pp. 58o, 691, et Bertrand, Calcul différentiel, p. 223. On peut former à volonté autant d'équations in légrables que Ton veut. Ainsi, l'équation suivante :

( DXyz + fxDyz -+- fiyVx; H- fzzDXy + fx.ft yDz -h fxfa-Vy + A2/A~-D- + fc-fiH-f»*) u

= F(x,y,z)

se ramène à un système d'équations différentielles linéaires, parce qu'elle peut s'écrire '•

(Dx+/x) {Dy + fty) (T)z + f,z.)u = F(x,y,z).

L'équation :

[Vxyz— xyVsy— xzhjcz— yzDIJZ-\-[xyz— t) (xDx-+-j/Dj/4-rDJ)-4-(5a!;j/s— x2y2z2— l)]w=0

se met sous la forme :

(Dx ys) [Dy xz) {\)z yx) u = o et a pour intégrale la plus générale :

U, étant fonction quelconque de y et z, U2une fonction quelconque de x et s, V- une fonction quelconque de y et z.

( 27 ) plus difficile la recherche de ces facteurs. En voici un exemple (*). Si l'on pose :